Jedeň deň v živote matematika

Autor: Peter Frolkovič | 25.5.2007 o 13:33 | Karma článku: 10,81 | Prečítané:  2937x

Dnes ráno som z domu vyrazil autom do roboty o dosť skoršie ako inokedy. Nie žeby sa mi nechcelo spať, ale včera som jednoducho nestihol dokončiť prípravu na dnešnú prednášku a chcel som si ešte pred jej začiatkom vyjasniť pár nezodpovedaných otázok. Na chodbe inštitútu bolo ticho. Prišiel som dnes na druhé poschodie budovy IWR v Heidelbergu ako prvý. A zrazu sa do toho mŕtvolného ticha ozvala škaredá nadávka. Na moje veľké prekvapenie dokonca po slovensky.

Spomenul som si totiž v tej chvíli, že som doma zabudol počítač. Chcel som dnes predviesť študentom ako jedna metóda, o ktorej spolu teoretizujeme už niekoľko týždňov na prednáškach, funguje v praxi a bez počítača som bol bezmocný.

Ak sa mám vrátiť po notebook domov, stratil by som skoro hodinu a na dokončenie prípravy mi neostane veľa času. Začal som byť nielen roztržitý, ale aj nervózny.

Sadol som si za svoj veľký neprenosný počítač v kancelárii a chcel v tomto duševnom rozpoložení dokončiť počítačový program, kde ešte jedna maličkosť nefungovala. Skúsim vám stručne vysvetliť o čo ide.

Predstavte si, že niekoľko týždňov presviedčiate študentov pomocou kriedy a mávania rukami, aká dokonalá je ospevovaná metóda, a o čo lepšia je ako tie druhé, a keď ju naprogramujete, zrazu je z vašich sľubov veľké nič. Metóda dáva mizerné výsledky, môže sa hanbiť v porovnaní s ostatnými a vy s ňou.

Pri tom bolo jasné, že na vine som ja. Našiel som naprogramovanú metódu v internete a chcel som pôvodnú verziu z Mníchova kvôli študentom zjednodušiť - nahradil som jej jednu dôležitú časť inou, jednoduchšou. Nechcel som tu nikoho menovať, ale mením operatívne plán. Jednoducho som jeden krok metódy, tak ako ho kedysi navrhli pán Gauss a pán Seidel, nahradil jednoduchším krokom, ako ho kedysi vymyslel pán Jacobi.

Gauss a Seidel si mohli dnes škodoradostne medliť ruky, lebo to čo s ich krokom dovtedy pekne fungovalo sa zrazu celé rozsypalo, keď metódu zobral do rúk pán Jacobi.

Ale teória má predsa vždy pravdu, nie? Takže sa musí prax mýliť, však?

Nervozita stúpa nielen v tomto príspevku.

Chybu som ani po polhodine nenašiel. Ak by som mal ísť domov po počítač, neostal mi na prípravu už žiaden čas. Všetko nasvedčovalo tomu, že reputácia univerzity v Heidelbergu po mojej dnešnej prednáške mierne poklesne :-( ...

Našťastie prišli prvý kolegovia do práce a našiel sa iný notebook, ktorý som mohol použiť. Získal som ďalší čas na obhajobu pána Jacobiho.

Prešla polhodina.

Desať minút pred prednáškou som mal obhajovaciu reč hotovú. Všetky moje doterajšie problémy spôsobilo len jedno jediné zabudnuté slovíčko. Tlmič. Hej, ten.

Krok od pána Jacobiho funguje dobre len vtedy, keď sa tlmí. V Nemecku Jacobiho metódu dämpfujú, v anglicky hovoriacich krajinách ju relaxujú.

Čas na zmenu počítačového programu mi nezostal, musel som ešte utrieť tabuľu v miestnosti pred začiatkom prednášky.

Už ako som šiel po schodoch na 4. poschodie, rozhodol som sa pre riskantný krok. Ukážem študentom ako metóda, ktorú im vychvaľujem už niekoľko týždňov do neba pomocou kriedy a tabule, mizerne funguje v počítači. A potom ju spoločne opravíme. Len jeden krok v nej trochu stlmíme a ak už neurobíme žiadnu ďalšiu chybu, všetko začne krásne fungovať.

Prax doženie teóriu. Škola hrou. Učiť sa, učiť sa, učiť sa.

Tak ako som si zaumienil, tak aj bolo. Ukázali sme si, ako metóda vo verzii Gauss-Seidel vynikajúco a rýchlo funguje a potom sme skúsili to isté s jednoduchšou verziou od Jacobiho.

Katastrofa.

Jemne som študentov upozornil, že chyba je na ich strane, lebo zabudli do Jacobiho metódy zaviesť tlmiaci parameter. Spoločne sme porozmýšľali ako ho tam zaviesť a napínavo čakali, ako sa výsledky zlepšia.

Nezlepšili sa. Boli ešte horšie.

Našli sme teda spoločne ďalšiu chybu v programe a znova napínavo čakali na výsledky. Mnohým študentom som videl v tvári, že v pána Jacobiho prestávali pomaly veriť.

Chyba! V opravenej verzii metóda fungovala v praxi tak ako aj v teórii! Víťazoslávne som žiaril smerom do obecenstva.

A vtom sa stalo niečo, čo sa stáva len raz za sto rokov. Mne sa to prihodilo počas môjho života už niekoľkokrát. Jeden študent, ten najšikovnejší, fyzik, ten čo najviac stratil na dôvere k pánu Jacobimu, povedal, že on tomu celému neverí. Že keď z metódy vyhodíme tú časť, za ktorú je zodpovedný pán Jacobi, zvyšok metódy si poradí aj bez neho.

Nebolo to od neho hlúpe. Naozaj metóda, ktorú som tu ešte stále nepomenoval, toho tak veľa od pána Jacobiho nezíska. Riešili sme príklad, kde riešenie bolo známe a po každom kroku metódy sme si pozreli, ako ďaleko ešte od riešenia sme. Jacobiho metóda nás k nemu vždy priblížila len o malý malilinký kúsoček, kým ostatné kroky metódy nás priblížili k riešeniu míľovými krokmi.

Lenže teória vraví, že úloha Jacobiho (alebo Gauss-Seidelovej) metódy je iná. Nemá zlepšovať výsledok, má len trochu uhladiť ten neporiadok, čo spraví ostatná časť metódy.

Skúsim aj vám teda predviesť to, čo dnes videli študenti na štvrtom poschodí budovy INF 368.

Tu je obrázok presného riešenia.


00.gif

Správne. Presná odpoveď je nula. Nič. Preto tam aj nič vidíte. Však ide len o test.

S týmto odhadom nuly sme našu metódu odštartovali.

01.gif


To je kopec riadne vzdialený od nuly. Ak bude naša metódas fungovať, kopček musí byť na obrázkoch nižšie čoraz nižší, až z neho na konci bude len rovinka. Tak ako na prvom obrázku.

Toto sme dostali, keď sme aplikovali jeden krok metódy, v ktorom sme vynechali uhladzovanie od pána Jacobiho.

02.gif


Kopček je očividne nižší, vidíte to podľa stupnice vľavo. Len nám na ňom narástli nejaké hrbolce. Spravme ďalší krok a stále trucujme, to jest uhladzovanie od pána Jacobiho neuskutočníme.

03.gif

Začínate tušiť, čo sa deje. Po niekoľkých krokoch s trucovaním už kopček šiel len pomaly dole a hrbolce na ňom rástli ako za traktorom na poli.

05.gif

Študent pochopil. V tvári sa mu rozjasnilo. A aby sme pochopili i my, ospravedlníme sa pánu Jacobimu a aplikujeme jeden krôčik len s jeho metódou. Aj keď tlmenou.

Tu je krôčik.

> jacobi(x,b,n): listplot([seq(x[i],i=0..n)]);

Tu je výsledok.

 

koniec.gif

 

Kopček moc neklesol, ale hrbolce zmizli. A viac ani "metóda viacerých sietí" (multigrid method alebo Mehrgitterverfahren) od pána Jacobiho nepotrebuje. Jej ostatná časť sa už postará o to, aby sa hladký kopček znova viac priblížil k rovinke, keď ho sem-tam medzitým vyrovnáme.

Prednášku som ukončil o 15 minút skôr. Mojim krédom je v najlepšom prestať.

Neviem ako na vás tento príspevok pôsobí, len nehľadajte v ňom, prosím, nič negatívne alebo chválenkárske, naozaj som chcel len vyventilovať radosť z jedného dňa, ktorý tak zle začal a nakoniec tak dobre dopadol.

Však sa to ani neodohráva u nás na Slovensku.

Nevraviac, že deň ešte stále nie je u konca. Idem na obed.

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

EKONOMIKA

Vkladné knižky kedysi využívala mafia. Aké sú lepšie investície

Čo urobiť s veľkou sumou našetrených peňazí a čo robiť, ak si chcem šetriť každý mesiac po troche? Denník SME sa pokúsil objasniť niektoré známejšie druhy sporenia.

EKONOMIKA

Firma, ktorej zadržali kamióny: Hľadáte problém tam, kde nie je

North Sea Express je podozrivá z vykorisťovania.


Už ste čítali?